为1的后继数，即2 = 1" 。”根据皮亚诺公理中的加法定义：“对于任意自然数和n， + 0 = ， + n" = ( + n)" 。”林云开始了关键的证明步骤：
当 = 1，n = 0时，根据加法定义，1 + 0 = 1（因为 + 0 = ）。
现在我们要证明1 + 1 = 2 。因为1 = 0" ，所以1 + 1可以写成1 + 0" 。
根据加法定义 + n" = ( + n)" ，当 = 1，n = 0时，1 + 0" = (1 + 0)" 。
又因为前面已经证明1 + 0 = 1 ，所以(1 + 0)" = 1" 。
而我们之前定义2 = 1" ，所以1 + 1 = 2 。
林云完成了基于皮亚诺公理体系的证明后，并没有停下思考的脚步。他知道，数学的证明方法是多样的，从不同的角度出发，可能会得到不同的证明思路。他开始思考集合论的方法。
在集合论中，数可以用集合来表示。林云在笔记本上画下了一些简单的集合图形，开始从集合的角度进行证明。他写道：“我们可以用集合的基数来定义自然数。空集的基数为0 ，即|| = 0 。”然后，他定义了一个只包含空集的集合，这个集合的基数就是1 ，即|{}| = 1 。接着，他定义了一个包含前面两个集合的集合，这个集合的基数就是2 ，即|{, {}}| = 2 。
对于加法，他这样解释：“两个不相交集合的并集的基数等于这两个集合基数的和。”他在纸上画了两个不相交的圆，分别代表两个集合a和b 。假设集合a的基数为1 ，即|a| = 1 ，集合b的基数也为1 ，即|b| = 1 。那么a和b的并集c = a u b 。
因为a和b不相交，所以根据集合论中并集基数的定义，|c| = |a| + |b| 。
又因为|a| = 1 ，|b| = 1 ，且c = {, {}}（通过前面集合的定义可以得出），|c| = 2 。
所以1 + 1 = 2 。
林云觉得这样的证明还不够直观，他