3yz = 9。把六块长方体重新装回大立方体时，少了一个小立方体，在方程两边各加 y3，此时大立方体 z3 就组装好了，且 z3 = 26 + y3。这样就得到两个方程和两个未知数，将 z = 3\/y 代入第一个方程，可得 y + 26y3 = 27，把 y3 看成一个整体即可求解。
1799 年，德国数学家约翰·卡尔·弗里德里希·高斯将实数和虚数与平面直角坐标系上的点一一对应，创立了复数平面。复数平面与普通平面直角坐标系虽都有横竖两条直线相交，但思想内涵更深刻。其坐标为(a, b)，a 表示复平面内横坐标，b 表示纵坐标，实数 a 的点落在 x 轴（实轴）上，纯虚数 b 的点落在 y 轴（虚轴）上。例如方程 y = x2 + 1，在普通坐标系中找不到其根，拓展到虚数维度，可得到相应图像，其中标记部分即为方程的虚数根。虚数在现实应用中有重要用途，如机场控制塔计算飞机航线。在复平面中，飞机航向可用复数表示，如航向为 3 + 4i，若逆时针旋转 45 度（45 度在复平面中可表示为 1 + i），将两者相乘可得新航线为 -1 + 7i。飞机飞行中改变高度涉及维度变化，需用虚数计算，因每次乘虚数 i 相当于在复平面上旋转 90 度，如 1 乘 i 到 i 点，i 乘 i 到 -1 点，再乘 i 到 -i 点，第四次乘 i 回到 1 点，持续乘 i 则点在竖轴上旋转形成螺旋，在复数上表现为正弦波，由此科学家推测宇宙可能由波组成。
1924 年，法国理论物理学家路易·维克多·德布罗意推广光的波粒二象性，提出一切微观粒子都具有波动性的物质波假设，认为粒子就是能量波或射线粒子，如光波是光速移动的光子，音乐、流体也是波的表现形式，但当时缺乏实验证据。1927 年，美国贝尔实验室的戴维森和革末进行电子束轰击镍靶实验，实验中镍靶意外氧化，还原处理后进行电子散射，观测到与 x 射线衍射相似图像，证明电子具有波动性。同年，英国物理学家 gp汤姆逊（实际为约瑟夫·约翰·汤姆逊）完成电子束穿过多晶薄膜的衍射实验，也得到相似照片，且实验得出的电子物质波波长与德布罗意公